A bosnyák-magyar kettős állampolgárságú középpályás, Asmir Suljic felnőtt karrierjét Bosznia-Hercegovina egyik legsikeresebb klubjában, az FK Sarajevóban kezdte, amely színeiben 77 bajnoki mérkőzésen tizenegy gólt és hét asszisztot jegyzett. 2013-ban az Újpesthez igazolt, amellyel rögtön az első idényében megnyerte a Magyar Kupát, majd azt követően a Szuperkupát is. Három évet töltött a lila-fehéreknél, majd a Videoton kivásárolta élő szerződéséből. Fehérváron három idény alatt egy bajnoki címet (2018-ban) és két bajnoki ezüstöt szerzett. 2017-ben magyar állampolgár lett.
A 2018–2019-es kiírásban az Olimpia Ljubljana játékosaként szlovén kupagyőztes lett. Ezután előbb Lengyelországban a Zaglębie Lubin gárdájában, majd az izraeli Maccabi Petah Tikva csapatában szerepelt. 2021-ben a Diósgyőr hívására visszatért Magyarországra, 22 NB I-es bajnoki meccsen 3 gólt szerzett a miskolci klubban. Egy évvel később hazatért az FK Sarajevóhoz, onnan a kazah Tobol csapatához vezetett az útja, amellyel kupagyőztes lett. 2023-ban ismét Boszniában, a Velez Mostar együttesében futballozott. Legutóbbi állomáshelye az indiai Super League-ben szereplő Pundzsab FC volt.
„Amikor Simon Ádám megkeresett a klubtól, nem gondolkodtam sokat, egy rövid megbeszélést követően egymás tenyerébe csaptunk – mondta a klubhonlapon a 33 éves Asmir Suljic. – Vissza akartam térni Magyarországra, örömmel érkeztem Szegedre. A Szent Gellért Fórum talán az egyik legszebb stadion, amelyben valaha jártam. Nem levezetni jöttem, segíteni szeretnék a csapatnak abban, hogy elérjük a célunkat, az NB I-et.”
Suljic Holman Dávid és Sztankó László Márk után a szegediek harmadik nyári igazolása.
A Szegedhez hasonlóan NB II-es Csákvár is igazolt, mégpedig a több poszton, a védelemben és a középpályán is bevethető Radics Mártont. A 23 éves játékos az ETO-tól került a Puskás Akadémiához, ahol végigjárva a szamárlétrát 2019 őszén bemutatkozott az NB I-ben. Ezt követően fél esztendőt eltöltött már Csákváron, majd kölcsönben szerepelt Gyirmóton, Diósgyőrben, Szegeden és Mosonmagyaróváron. Az elmúlt szezont a Puskás Akadémia II-nél töltötte, ahol 29 NB III-as bajnokin lépett pályára. Ő a csákváriak második új szerzeménye Lorentz Márton után.