A csehországi Krmelínben született Mácha gyerekként több sportágban is kipróbálta magát, többek között kitűnően sakkozott, ám végül a kötöttfogású birkózás mellett kötött ki. A nemzetközi színtéren az 1967-es Európa-bajnokságon debütált, majd részt vehetett az 1968-as mexikói olimpián. Négy évvel később valósággal berobbant a 74 kilós súlycsoport élvonalába: előbb Európa-bajnoki bronzérmet szerzett, majd általános meglepetésre megnyerte súlycsoportjában a müncheni olimpiát. Két évvel később, 1974-ben világbajnoki címet szerzett, majd 1977-ben másodszor is felült a 74 kilósok trónjára, és abban az évben első Eb-címét is megszerezte, s közben a montreali olimpián ezüstérmes lett.
Az 1980-as olimpiára is kijutott, ahol a hatodik helyen végzett, majd visszavonult, s a csehszlovák válogatottnál a kötöttfogásúak szövetségi kapitánya lett. 1990-ben a Csehszlovák Olimpiai Bizottság végrehajtó bizottsága tagjának választották, majd Csehszlovákia feloszlása után a Cseh Birkózók Szövetségének első embere volt 1993–1996 között.
Máchát 2001-ben a 20. század tíz legjobb cseh sportolója közé is beválasztották, s 2019-ben bekerült a sportág nemzetközi szövetségének Hírességek Csarnokába.
