Núnez a játékos-pályafutását a montevideói Nacionalban kezdte, de a leghosszabb időt a spanyol Valenciában töltötte.
„Héctor Núnez elment, ez nagy vesztesége az uruguayi labdarúgásnak" – fogalmazott saját Twitter-oldalán Diego Forlán, a tavalyi világbajnokság legjobb futballistája.
Núnez vezetőedzőként ült több spanyol gárda – így az Atlético Madrid és a Valencia – kispadján, irányította korábbi klubjának, a Nacionalnak az együttesét is, valamint többek között a mexikói Tecost, illetve a szaúdi al-Naszrt.
Szövetségi kapitányként az uruguayi válogatott mellett a Costa Rica-it vezette.
Legnagyobb sikerét hazája nemzeti csapatával érte el az 1995-ös kontinenstornán, melynek döntőjében együttese tizenegyesekkel győzte le az egy évvel korábban világbajnok brazilokat.