Streiff az alacsonyabb formaautós kategóriákban és a Le Mans-i 24 órás viadalon elért jó eredményei után 1984 végén mutatkozott be a Formula–1 mezőnyében a Renault-nál, majd 1985-ben már a Ligier színeiben indult az év utolsó öt futamán. Abban az évben, pályafutása hatodik versenyén dobogóra állhatott az idényzáró Ausztrál GP-n – a 18. helyről rajtolva lett harmadik csapattársa, Jacques Laffite mögött.
A következő évben a Tyrrellhez igazolt, ahol két pontszerzés szerepelt a neve mellett, s az első Magyar Nagydíjon is rajthoz állt – 8. lett (ma már pontot kapna, akkor nem kapott).
Pályafutását az 1989-es idény első versenyén, Brazíliában elszenvedett borzalmas balesete törte ketté. A Rio de Janeiróban rendezett nagydíj szabadedzésén már az AGS istálló színeiben vett részt, autójával kicsúszott, átrepült a szalagkorlát fölött, a feje mögötti bukócső leszakadt, emiatt Streiff nyakcsigolyatörést szenvedett, s károsodott a gerincvelője is. Élete végéig tolószékbe kényszerült.
A 33 évesen elszenvedett baleset után versenyautóba többet nem ült, de nem szakadt el a sporttól, gokartversenyeket szervezett, és csapatvezetőként próbált a Ligier élén visszatérni a száguldó cirkuszba 1994-ben – sikertelenül.
Ayrton Senna, Johnny Dumfries, Michele Alboreto, Andrea de Cesaris és Patrick Tambay után Streiff a hatodik, aki elhunyt az első Magyar Nagydíjon részt vevő versenyzők közül – túl gyorsan bővül a lista...
